Disegnare un problema matematico ne predice la soluzione

Iricercatori dell'UNIGE hanno dimostrato che le nostre rappresentazioni mentali dei problemi matematici influenzano le strategie per risolverli.

La soluzione di problemi aritmetici, anche di semplici sottrazioni, è accompagnata da rappresentazioni mentali la cui influenza deve ancora essere chiarita.

La visualizzazione di queste rappresentazioni permetterebbe di comprendere meglio i nostri ragionamenti e di adattare i nostri metodi di insegnamento. Un’équipe dell'Università di Ginevra (UNIGE), in collaborazione con l'Università CY Cergy Paris (CYU) e l'Università della Borgogna (uB), ha analizzato alcuni disegni realizzati da bambini e adulti durante la risoluzione di problemi semplici. I ricercatori hanno scoperto che le strategie di calcolo più efficaci erano associate a determinati tipi di disegno, indipendentemente dall'età delle o dei partecipanti. Questi risultati, pubblicati sulla rivista Memory & Cognition, aprono nuove prospettive per l'insegnamento della matematica.

L'apprendimento della matematica comporta spesso piccoli problemi legati a situazioni quotidiane concrete. Per esempio, gli alunni devono sommare delle quantità di farina per realizzare una ricetta o sottrarre somme di denaro per scoprire cosa resta nel portafoglio dopo aver fatto la spesa. Gli allievi sono quindi portati a tradurre delle affermazioni in procedure algoritmiche per trovare la soluzione. Questa traduzione delle parole in strategie risolutive comporta una fase di rappresentazione mentale di informazioni matematiche, come i numeri o la natura dell'operazione da eseguire, e di informazioni non matematiche, come il contesto del problema.

Le dimensioni cardinali o ordinali dei problemi

Avere un'idea più precisa di queste rappresentazioni mentali permetterebbe di meglio comprendere la scelta delle strategie di calcolo. I ricercatori dell'UNIGE, del CYU e dell'uB hanno condotto uno studio su bambini di 10 anni e adulti, chiedendo loro di risolvere alcuni semplici problemi utilizzando il minor numero possibile di passaggi di calcolo. Ai partecipanti è stato poi chiesto, per ogni problema, di spiegare con un disegno o un diagramma la loro strategia di risoluzione. I contesti di alcuni problemi riguardavano le proprietà cardinali dei numeri – la quantità di elementi in un insieme - mentre altri riguardavano le loro proprietà ordinali - la loro posizione in una lista ordinata.

I primi problemi riguardavano biglie, pesci o libri, ad esempio: “Paul ha 8 biglie rosse. Ha anche delle biglie blu. In tutto, Paul ha 11 biglie. Charlène ha tante biglie blu quante Paul, più alcune verdi. Ha 2 biglie verdi in meno di quelle rosse di Paul. In totale, quante biglie ha Charlène?” Le seconde domande riguardavano invece le lunghezze o le durate, ad esempio: “Il viaggio di Sophie dura 8 ore. Il viaggio si svolge di giorno. Quando arriva, l'orologio segna le 11. Fred parte alla stessa ora di Sophie. Il viaggio di Fred è di 2 ore più breve di quello di Sophie. Che ore sono all’arrivo di Fred?”

I due problemi hanno la stessa struttura matematica e possono essere risolti entrambi con una strategia lunga in 3 passi (11 - 8 = 3; 8 - 2 = 6; 6 + 3 = 9) o in un unico calcolo con una semplice sottrazione (11 - 2 = 9). Le rappresentazioni mentali di questi problemi sono tuttavia molto diverse e i ricercatori hanno voluto determinare se il tipo di rappresentazione poteva predire la strategia di calcolo (in 1 o 3 passaggi) per risolverli.

“La nostra ipotesi era che i problemi cardinali - come quello della biglia - ispirassero dei disegni cardinali, cioè dei diagrammi con singoli elementi identici, come croci o cerchi, o con sovrapposizioni di elementi in insiemi o sottoinsiemi. Allo stesso modo, abbiamo ipotizzato che i problemi ordinali - come i tempi di percorrenza - avrebbero portato a rappresentazioni ordinali, cioè dei diagrammi con assi, graduazioni o intervalli, e che questi disegni ordinali avrebbero rispecchiato le rappresentazioni dei partecipanti e avrebbero dato delle indicazioni sul modo in cui sarebbero riusciti più facilmente a identificare la strategia di soluzione in un passaggio”, spiega Hippolyte Gros, ex ricercatore post-dottorato presso la Facoltà di Psicologia e Scienze dell'Educazione dell'UNIGE, docente presso il CYU e primo autore dello studio.

Identificare le rappresentazioni mentali attraverso i disegni

Queste ipotesi sono state convalidate analizzando i disegni di 52 adulti e 59 bambini. “Abbiamo dimostrato che, indipendentemente dalla loro esperienza - poiché gli stessi risultati sono stati ottenuti sia coi bambini sia con gli adulti - l'uso delle strategie da parte dei partecipanti dipende dalla loro rappresentazione del problema, e che questa è influenzata dalle informazioni non matematiche contenute nell'enunciato, come rivelato dai loro disegni”, spiega Emmanuel Sander, professore presso la Facoltà di Psicologia e Scienze dell'Educazione dell'UNIGE. “Il nostro studio dimostra inoltre che, anche dopo anni di esperienza nella risoluzione di problemi di addizione e sottrazione, la differenza tra problemi cardinali e ordinali rimane molto marcata. La maggior parte dei partecipanti riesce a risolvere in un solo passaggio solo i problemi del secondo tipo”.

Migliorare l'apprendimento della matematica analizzando i disegni

L’équipe di ricerca ha inoltre notato che i disegni con rappresentazioni ordinali erano più frequentemente associati a una soluzione in un solo passaggio, anche se il problema era cardinale. Ciò significa che il disegno con una scala o un asse è legato alla scelta del calcolo più veloce. “Da un punto di vista pedagogico, ciò suggerisce che la presenza di caratteristiche specifiche nel disegno di un allievo può indicare o meno che la sua rappresentazione del problema è la più efficace per rispondere alle istruzioni - in questo caso, arrivare alla soluzione con il minor numero di calcoli possibile”, osserva Jean-Pierre Thibaut, professore presso il Laboratorio di studio dell’apprendimento e dello sviluppo dell’UB. 

“Quindi, quando si tratta di sottrarre dei singoli elementi, una rappresentazione attraverso un asse - piuttosto che attraverso dei sottoinsiemi - è più efficace per trovare il metodo più veloce. L'analisi dei disegni aritmetici degli alunni può quindi consentire un intervento mirato per aiutarli a tradurre i problemi in rappresentazioni più ottimali. Un modo per farlo è lavorare sulla rappresentazione grafica degli enunciati in classe per aiutare gli studenti a capire le strategie più dirette", conclude Hippolyte Gros.